Define a Lie algebra homomorphism between two Lie algebras.

Convert a derivation on a Lie algebra to a Lie algebra isomorphism.

Calculate the kernel and image of a Lie algebra homomorphism.

Calculate the inverse image of a subalgebra under a Lie algebra homomorphism.

Apply a Lie algebra homomorphism to a vector, differential form or tensor defined on a Lie algebra.

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):

L1 := _DG([["LieAlgebra", Alg1, [3]], [[[1, 3, 1], 2], [[2, 3, 1], 2], [[2, 3, 2], 1]]]);

$\mathrm{L1}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\right]$

L2 := _DG([["LieAlgebra", Alg2, [5]], [[[1, 3, 1], -1], [[1, 3, 2], -1], [[1, 4, 1], 1], [[2, 3, 1], 1], [[2, 3, 2], 1], [[2, 4, 1], 1], [[2, 4, 2], 2], [[3, 4, 1], 1], [[3, 4, 3], 1], [[3, 4, 5], -3], [[4, 5, 5], 2]]]);

$\mathrm{L2}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\+2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e3}-3\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e5}\right]$

L3 := _DG([["LieAlgebra", Alg3, [4]], [[[1, 2, 2], 1], [[1, 2, 3], -1], [[1, 2, 4], -2], [[1, 3, 2], 1], [[1, 3, 3], -1], [[1, 3, 4], -2], [[2, 3, 1], -1], [[2, 3, 2], 2], [[2, 3, 3], -2], [[2, 3, 4], 1], [[2, 4, 4], 2], [[3, 4, 4], 2]]]);

$\mathrm{L3}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{e3}-2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{e3}-2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e1}\+2\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(L1):

DGsetup(L2, [f], [omega]):

DGsetup(L3, [g], [sigma]):

A := Matrix([[1, 0, 0], [1, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]);

phi := Transformation(Alg1, Alg2, A);

$\mathrm{\φ}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{f2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{f3}\+\mathrm{f4}\right]\right]$

Query(phi, "Homomorphism");

$\mathrm{true}$

B := Matrix([[-1, 1, 0, 0, 0], [1, -1, 1, 0, 0], [-1, 1, -1, 1, a], [1, -1, 1, -1, b]]);

psi0 := Transformation(Alg2, Alg3, B);

$\mathrm{\ψ0}≔\left[\left[\mathrm{f1}\,-\mathrm{g1}\+\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f2}\,\mathrm{g1}-\mathrm{g2}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f3}\,\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f4}\,\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f5}\,a\mathrm{g3}\+b\mathrm{g4}\right]\right]$

Q := Query(psi0, {a, b}, "Homomorphism");

$Q≔\mathrm{true}\,\left\{0\,a\,3b-3\,-2a\,3a\,-3b\+3\,2a\,-3a\,-a\right\}\,\left[\left\{b\=1\,a\=0\right\}\right]\,\left[\left[\left[\mathrm{f1}\,-\mathrm{g1}\+\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f2}\,\mathrm{g1}-\mathrm{g2}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f3}\,\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f4}\,\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f5}\,\mathrm{g4}\right]\right]\right]$

psi := Q[4][1];

$\mathrm{\ψ}≔\left[\left[\mathrm{f1}\,-\mathrm{g1}\+\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f2}\,\mathrm{g1}-\mathrm{g2}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f3}\,\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f4}\,\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f5}\,\mathrm{g4}\right]\right]$

MultiplicationTable(Alg1, "LieTable");

MultiplicationTable(Alg2, "LieTable");

MultiplicationTable(Alg3, "LieTable");

phi;

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{f2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{f3}\+\mathrm{f4}\right]\right]$

psi;

$\left[\left[\mathrm{f1}\,-\mathrm{g1}\+\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f2}\,\mathrm{g1}-\mathrm{g2}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f3}\,\mathrm{g2}-\mathrm{g3}\+\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f4}\,\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{f5}\,\mathrm{g4}\right]\right]$

HomomorphismSubalgebras(psi, "Kernel");

$\left[\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\right]$

tau := ComposeTransformations(psi, phi);

$\mathrm{\τ}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,0\mathrm{g1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{g1}-\mathrm{g2}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{g2}\right]\right]$

HomomorphismSubalgebras(tau, "Image");

$\left[\mathrm{g1}\+\mathrm{g3}-\mathrm{g4}\,\mathrm{g2}\right]$

U := [g3, g4];

$U≔\left[\mathrm{g3}\,\mathrm{g4}\right]$

V :=HomomorphismSubalgebras(psi, U, "InverseImage");

$V≔\left[\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\,-\mathrm{f5}\,-\mathrm{f4}\right]$

Tools:-CanonicalBasis(V, [f1, f2, f3, f4, f5]);

$\left[\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\,\mathrm{f4}\,\mathrm{f5}\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 24], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=e\mathrm{e1}\+2\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

Der := Derivations("Full");

a := Der[2] + t*Der[3] + s*Der[4];

Query(Alg1, a, "Derivation");

$\mathrm{true}$

A := LinearAlgebra:-MatrixExponential(a);

tau := Transformation(Alg1, Alg1, A);

$\mathrm{\τ}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left(1\+\frac{ts}{2}\right)\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+t\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,s\mathrm{e1}\+\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{e5}\,\left(\frac{1}{6}{s}^{2}t\+\frac{1}{2}{s}^2\right)\mathrm{e1}\+s\mathrm{e2}\+\left(\frac{1}{2}ts-1\+s\right)\mathrm{e3}\+\mathrm{e5}\right]\right]$

Query(tau, "Homomorphism");

$\mathrm{true}$

HomomorphismSubalgebras(tau, "Kernel");

L_domain := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 24], Alg1);

$\mathrm{L\_domain}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=e\mathrm{e1}\+2\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(L_domain);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

L_range := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 24], Alg2);

$\mathrm{L\_range}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=e\mathrm{e1}\+2\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(L_range, [f], [omega]);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg2}$

A := Matrix([[1, 1 + 1/2*t*s, s, 0, 1/6*s^2*t + 1/2*s^2], [0, 1, 0, 0, s], [0, t, 1, 0, 1/2*t*s - 1 + s], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]]);

tau := Transformation(Alg1, Alg2, A);

$\mathrm{\τ}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{f1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left(1\+\frac{ts}{2}\right)\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\+t\mathrm{f3}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,s\mathrm{f1}\+\mathrm{f3}\right]\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{f4}\right]\,\left[\mathrm{e5}\,\left(\frac{1}{6}{s}^{2}t\+\frac{1}{2}{s}^2\right)\mathrm{f1}\+s\mathrm{f2}\+\left(\frac{1}{2}ts-1\+s\right)\mathrm{f3}\+\mathrm{f5}\right]\right]$

ApplyHomomorphism(tau, e2);

$\left(1\+\frac{ts}{2}\right)\mathrm{f1}\+\mathrm{f2}\+t\mathrm{f3}$

ApplyHomomorphism(tau, omega3);

$t\mathrm{\θ2}\+\mathrm{\θ3}\+\left(\frac{1}{2}ts-1\+s\right)\mathrm{\θ5}$

ApplyHomomorphism(tau, omega3 &wedge omega4);

$t\mathrm{\θ2}\mathrm{`^`}\mathrm{\θ4}\+\mathrm{\θ3}\mathrm{`^`}\mathrm{\θ4}\+\left(-\frac{1}{2}ts\+1-s\right)\mathrm{\θ4}\mathrm{`^`}\mathrm{\θ5}$

ApplyHomomorphism(tau, e2 &t theta5);

$\left(1\+\frac{ts}{2}\right)\mathrm{f1}\mathrm{\ω5}\+\mathrm{f2}\mathrm{\ω5}\+t\mathrm{f3}\mathrm{\ω5}$

ApplyHomomorphism(tau, f2 &t f3);

$-\frac{\left(-2\+ts\right)s\mathrm{e1}\mathrm{e1}}{2}\+\left(-1\+\frac{ts}{2}\right)\mathrm{e1}\mathrm{e3}-s\mathrm{e2}\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\mathrm{e3}\+ts\mathrm{e3}\mathrm{e1}-t\mathrm{e3}\mathrm{e3}$