Let $R_{\mathrm{ijhk}}$ be the rank 4 covariant tensor obtained from the curvature tensor of $g$ by lowering its first index with the metric $g$. Let $R_{\mathrm{ih}}$be the Ricci tensor and $R$ the Ricci scalar. The trace-free part of $R_{\mathrm{ijhk}}$ is the Weyl tensor $W_{\mathrm{ijhk}}$ of the metric $g$. If the dimension of M is $n$, then

The Weyl tensor vanishes identically in dimension $n\=3$. If $\bar{g}\=f^{\*}g$, then $W\left(\bar{g}\right) \= f^{\*}W\left(g\right)\.$

In addition to being trace-free over any index pair, the Weyl tensor also satisfies the first Bianchi identity.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form WeylTensor(...) only after executing the command with(DifferentialGeometry) and with(Tensor) in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-WeylTensor.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{g1}≔\mathrm{evalDG}\left(y^2\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+xz\left(\mathrm{dy}\&t\mathrm{dz}+\mathrm{dz}\&t\mathrm{dy}\right)\right)$

$\mathrm{g1}:=y^2\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+xz\mathrm{dy}\mathrm{dz}\+xz\mathrm{dz}\mathrm{dy}$

$\mathrm{C1}≔\mathrm{Christoffel}\left(\mathrm{g1}\right)$

$\mathrm{C1}:=\frac{\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{y}\+\frac{\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{y}-\frac{1}{2}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y^2}-\frac{1}{2}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y^2}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{x}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{x}-\frac{y\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dx}}{xz}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{x}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{x}\+\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dz}}{z}$

$\mathrm{R1}≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(\mathrm{C1}\right)$

$\mathrm{R1}:=\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{y^{2}x}\+\frac{1}{2}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y^3}-\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{y^{2}x}-\frac{1}{2}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y^3}\+\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{y^{2}x}-\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{y^{2}x}-\frac{1}{4}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{x^2}\+\frac{1}{4}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{x^2}-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{yx}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{yx}-\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y^{2}x}\+\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y^{2}x}-\frac{1}{4}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{x^2}-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{yx}\+\frac{1}{4}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{x^2}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{yx}\+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{yx}-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{yx}\+\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y^{2}x}-\frac{1}{4}\frac{z\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y^{2}x}$

$\mathrm{W1}≔\mathrm{WeylTensor}\left(\mathrm{g1}\,\mathrm{R1}\right)$

$\mathrm{W1}:=0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\,w\right]\,\mathrm{M2}\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M2}$

$\mathrm{g2}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dy}+\mathrm{dy}\&t\mathrm{dx}\right)+xy\left(\mathrm{dz}\&t\mathrm{dw}+\mathrm{dw}\&t\mathrm{dz}\right)\right)$

$\mathrm{g2}:=\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\mathrm{dy}\mathrm{dx}\+yx\mathrm{dz}\mathrm{dw}\+yx\mathrm{dw}\mathrm{dz}$

$\mathrm{W2}≔\mathrm{WeylTensor}\left(\mathrm{g2}\right)$

$\mathrm{W2}:=-\frac{1}{6}\frac{\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{y^2}\+\frac{1}{6}\frac{\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{y^2}\+\frac{1}{6}\frac{\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}{y^2}-\frac{1}{6}\frac{\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dx}}{y^2}-\frac{1}{6}{x}^2\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dw}\+\frac{1}{6}{x}^2\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dw}\mathrm{dz}\+\frac{1}{6}{x}^2\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dw}-\frac{1}{6}{x}^2\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dz}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dw}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dw}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dx}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dy}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dw}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dw}\mathrm{dx}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dy}\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dy}\mathrm{dw}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dw}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dw}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dx}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dw}\mathrm{dy}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dw}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dw}\mathrm{dx}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}}{y}\+\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{y}-\frac{1}{12}\frac{x\mathrm{dw}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}}{y}$

$\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(\mathrm{W2}\,\left[1\,2\right]\,''Symmetric''\right)$

$0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(\mathrm{W2}\,\left[3\,4\right]\,''Symmetric''\right)$

$0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(\mathrm{W2}\,\left[1\,3\,4\right]\,''SkewSymmetric''\right)$

$0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{h2}≔\mathrm{InverseMetric}\left(\mathrm{g2}\right)\:$

$\mathrm{ContractIndices}\left(\mathrm{h2}\,\mathrm{W2}\,\left[\left[1\,1\right]\,\left[2\,3\right]\right]\right)$

$0\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{g3}≔\mathrm{evalDG}\left(f\left(y\,z\right)\mathrm{g2}\right)\:$

$\mathrm{C3}≔\mathrm{Christoffel}\left(\mathrm{g3}\right)\:$

$\mathrm{R3}≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(\mathrm{C3}\right)\:$

$\mathrm{W3}≔\mathrm{WeylTensor}\left(\mathrm{g3}\,\mathrm{R3}\right)\:$

$\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{W3}-f\left(y\,z\right)\mathrm{W2}\right)$

$0\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$