$0$

$\=\left(\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\right)·\left[\begin{array}{c}{f}_x\(a\,b\,c\)\\ f_y\(a\,b\,c\)\\ f_z\(a\,b\,c\)\end{array}\right]$

$\= f_x\left(a\,b\,c\right)\cdot \left(x-a\right)\+f_y\left(a\,b\,c\right)\cdot \left(y-b\right)\+f_z\left(a\,b\,c\right)\cdot \left(z-c\right)$

Loading Student:-MultivariateCalculus

$\left(⟨x\,y\,z⟩-⟨a\,b\,c⟩\right)·⟨f_x\left(a\,b\,c\right)\,f_y\left(a\,b\,c\right)\,\mathrm{f\_\_z}\left(a\,b\,c\right)⟩\=0$

$\left(x-a\right)f_x\left(a\,b\,c\right)\+\left(y-b\right)f_y\left(a\,b\,c\right)\+\left(z-c\right)\mathrm{f\_\_z}\left(a\,b\,c\right)\=0$

$\stackrel{\text{isolate for z}}{\to }$

$z\=\frac{-\left(x-a\right)f_x\left(a\,b\,c\right)-\left(y-b\right)f_y\left(a\,b\,c\right)}{\mathrm{f\_\_z}\left(a\,b\,c\right)}\+c$

Tangent plane as first-degree Taylor polynomial

$f\left(x\,y\,z\right)$$\stackrel{\text{Taylor polynomial}}{\to }$$f\left(a\,b\,c\right)\+{\mathrm{D}}_1\left(f\right)\left(a\,b\,c\right)\left(x-a\right)\+{\mathrm{D}}_2\left(f\right)\left(a\,b\,c\right)\left(y-b\right)\+{\mathrm{D}}_3\left(f\right)\left(a\,b\,c\right)\left(z-c\right)$$$$$

$\mathrm{Student}:-\mathrm{VectorCalculus}:-\mathrm{TangentPlane}\left(f\left(x\,y\,z\right)\=0\,x\=a\,y\=b\,z\=c\right)$

$\left(\frac{\partial }{\partial a}f\left(a\,b\,c\right)\right)\left(x-a\right)\+\left(\frac{\partial }{\partial b}f\left(a\,b\,c\right)\right)\left(y-b\right)\+\left(\frac{\partial }{\partial c}f\left(a\,b\,c\right)\right)\left(z-c\right)\=0$