Let $\mathrm{\𝔤}$ be a Lie algebra and let ${\mathrm{\𝔤}}_0\, {\mathrm{\𝔤}}_1\, ..\. {\mathrm{\𝔤}}_N$ be a collection of subspaces such that $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }{\mathrm{\𝔤}}_0\oplus {\mathrm{\𝔤}}_1\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {\mathrm{\𝔤}}_N$(vector space direct sum).  Assign to the vectors in ${\mathrm{\𝔤}}_i$the weight $w_i \in \mathrm{\ℤ}$. Then this decomposition of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$ defines a graduation of $\mathrm{\𝔤}$ if $\left[{\mathrm{\𝔤}}_i\, {\mathrm{\𝔤}}_j\right] \subset {\mathrm{\𝔤}}_k$where $w_k \= w_{i }\+w_j$and $\left[{𝔤}_i\, {𝔤}_j\right] \=0$ if $w_i \+w_j$ is not an assigned weight.

Query([g0, g1, g2, ... gN], "Gradation") returns true if the subspaces ${\mathrm{\𝔤}}_0\, {\mathrm{\𝔤}}_1\, ..\. {\mathrm{\𝔤}}_N$ define a gradation of the Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$ with default weights $w_i \= i$.

For the second calling sequence T is a table whose indices are the weights $w_i$and whose entries are the subspaces ${\mathrm{\𝔤}}_i$ , that is ,$T\left[w_i\right] \= {\mathrm{\𝔤}}_i$.  The command Query(T, "Gradation") returns true if this systems of weights gives a graduation of $\mathrm{\𝔤}$.

A general construction of gradations for semi-simple Lie algebras is given by GradeSemiSimpleLieAlgebra .

The command Query is part of the DifferentialGeometry:-LieAlgebras package.  It can be used in the form Query(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry) and with(LieAlgebras), but can always be used by executing DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-Query(...).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{L1}≔\mathrm{MatrixAlgebras}\left(''Upper''\,4\,\mathrm{alg1}\right)$

$\mathrm{L1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e9}\right]\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\,\mathrm{e14}\,\mathrm{e22}\,\mathrm{e23}\,\mathrm{e24}\,\mathrm{e33}\,\mathrm{e34}\,\mathrm{e44}\right]\,\left[\mathrm{\ϵ11}\,\mathrm{\ϵ12}\,\mathrm{\ϵ13}\,\mathrm{\ϵ14}\,\mathrm{\ϵ22}\,\mathrm{\ϵ23}\,\mathrm{\ϵ24}\,\mathrm{\ϵ33}\,\mathrm{\ϵ34}\,\mathrm{\ϵ44}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L1}\right)\:$

$\mathrm{interface}\left(\mathrm{rtablesize}=12\right)$

$10$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieTable''\right)$

$\mathrm{g0}≔\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e22}\,\mathrm{e33}\,\mathrm{e44}\right]\:$$\mathrm{g1}≔\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e23}\,\mathrm{e34}\right]\:$$\mathrm{g2}≔\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e24}\right]\:$$\mathrm{g3}≔\left[\mathrm{e14}\right]\:$

$\mathrm{Query}\left(\left[\mathrm{g0}\,\mathrm{g1}\,\mathrm{g2}\,\mathrm{g3}\right]\,''Gradation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Gr1}≔\mathrm{table}\left(\left[0=\mathrm{g0}\,1=\mathrm{g1}\,2=\mathrm{g2}\,3=\mathrm{g3}\right]\right)$

$\mathrm{Gr}:=\mathrm{table}\left(\left[0\=\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e22}\,\mathrm{e33}\,\mathrm{e44}\right]\,1\=\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e23}\,\mathrm{e34}\right]\,2\=\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e24}\right]\,3\=\left[\mathrm{e14}\right]\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Gr1}\,''Gradation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{LD2}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sl(3)''\,\mathrm{alg2}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['E'\,'\mathrm{\theta }'\right]\right)$

$\mathrm{LD2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{\θ11}\,\mathrm{\θ22}\,\mathrm{\θ12}\,\mathrm{\θ13}\,\mathrm{\θ21}\,\mathrm{\θ23}\,\mathrm{\θ31}\,\mathrm{\θ32}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg2}$

$\mathrm{Gr2}≔\mathrm{table}\left(\left[0=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\right]\,1=\left[\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\right]\,2=\left[\mathrm{E13}\right]\,-1=\left[\mathrm{E21}\,\mathrm{E32}\right]\,-2=\left[\mathrm{E31}\right]\right]\right)$

$\mathrm{Gr2}:=\mathrm{table}\left(\left[-1\=\left[\mathrm{E21}\,\mathrm{E32}\right]\,0\=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\right]\,-2\=\left[\mathrm{E31}\right]\,1\=\left[\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\right]\,2\=\left[\mathrm{E13}\right]\right]\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Gr2}\,''Gradation''\right)$

$\mathrm{true}$