Let g be a semi-simple Lie algebra and h a Cartan subalgebra. Let $\left\{h_1\, h_2\, ..\. \,h_{m }\right\}$be a basis for$\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }$. The linear transformations $\mathrm{ad}\left(h_i\right)$are simultaneously diagonalizable over C - if x ∈ g is a common eigenvector for all these transformations, then $\mathrm{ad}\left(h_i\right)\left(x\right) \= \left[h_i \, x\right] \= {\mathrm{\α}}_i x$. The $m$-tuples ${\mathrm{\α}}_{} \= \left[{\mathrm{\α}}_1\, {\mathrm{\α}}_2\, ..\. \, {\mathrm{\α}}_m\right]$ are called the roots of $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$with respect to the Cartan sub-algebra $\mathrm{\𝔥}$and $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\=}\mathit{ }\mathrm{\𝔥}\mathit{ }\oplus \underset{\mathrm{\α} \in \mathrm{\Δ}}{⨁} R_{\mathrm{\α} }$the root space decomposition of g with respect to h.

The roots and root space decomposition enjoy the following basic properties.

 The eigenspaces or root spaces $R_{\mathrm{\α}}$are each 1-dimensional.

 If$\mathrm{\α}$is a root, then so is $-{\mathrm{\α}}_{} \.$

 If $x\in R_{{\mathrm{\α}}_{}}$ and $y\in R_{{\mathrm{\β}}_{}}$, then $\left[x\, y\right] \in R_{{\mathrm{\α}}_{}\+\mathrm{\β}}$if ${\mathrm{\α}}_{} \+ {\mathrm{\β}}_{}$is a root; otherwise $\left[x\, y\right] \=0.$

 If $x\in R_{{\mathrm{\α}}_{}}$ and $y\in R_{-{\mathrm{\α}}_{}}$, then $\left[x\, y\right] \in \mathrm{\𝔥}\mathit{\.}\mathit{ }$The vectors $\left\{x\, y\, \left[x\,y\right]\right\}$define a 3-dimensional Lie algebra isomorphic to $\mathrm{sl}\left(2\right)$.

If $x\in R_{{\mathrm{\α}}_{}}$ and $y\in R_{{\mathrm{\β}}_{}}$and ${\mathrm{\α}}_{} \ne \pm \mathrm{\β}\,$then $⟨x\, y⟩ \=0\,$where $⟨\cdot \, \cdot ⟩$is the Killing form.

The Killing form is non-degenerate on h.

 The number of linearly independent roots is $m\.$

The command RootSpaceDecomposition returns a table describing the root space decomposition of g with respect to h. The indices of the table are the roots ${\mathrm{\alpha }}_{}$ and the table entries are vectors in g defining the root spaces $R_{{\mathrm{\α}}_{}} \.$$$$$

The command Query/"RootSpaceDecomposition" will check that a given table defines a root space decomposition.

The commands SimpleLieAlgebraData and SimpleLieAlgebraProperties can be used to quickly obtain the root space decomposition for any simple classical matrix algebra.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sl(3)''\,\mathrm{sl3}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['E'\,'\mathrm{\theta }'\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{\θ11}\,\mathrm{\θ22}\,\mathrm{\θ12}\,\mathrm{\θ13}\,\mathrm{\θ21}\,\mathrm{\θ23}\,\mathrm{\θ31}\,\mathrm{\θ32}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

$\mathrm{CSA}≔\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\mathrm{sl3}\right)$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\right]$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[-2\,-1\right]\=\mathrm{E31}\,\left[2\,1\right]\=\mathrm{E13}\,\left[1\,2\right]\=\mathrm{E23}\,\left[1\,-1\right]\=\mathrm{E12}\,\left[-1\,1\right]\=\mathrm{E21}\,\left[-1\,-2\right]\=\mathrm{E32}\right]\right)$

$\mathrm{RT}≔\left[⟨-1\,-2⟩\,⟨1\,2⟩\,⟨-1\,1⟩\,⟨2\,1⟩\,⟨-2\,-1⟩\,⟨1\,-1⟩\right]$

$\mathrm{RS}≔\left[\mathrm{seq}\left(\mathrm{RSD}\left[\mathrm{convert}\left(v\,\mathrm{list}\right)\right]\,v=\mathrm{RT}\right)\right]$

$\mathrm{RS}:=\left[\mathrm{E32}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E12}\right]$

$\mathrm{LieBracket}\left(\mathrm{RS}\left[2\right]\,\mathrm{RS}\left[6\right]\right)$

$-\mathrm{E13}$

$H≔\mathrm{LieBracket}\left(\mathrm{RS}\left[1\right]\,\mathrm{RS}\left[2\right]\right)$

$H:=-\mathrm{E22}$

$\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[H\,\mathrm{RS}\left[1\right]\,\mathrm{RS}\left[2\right]\right]\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{Killing}\left(\left[\mathrm{RS}\left[2\right]\,\mathrm{RS}\left[4\right]\,\mathrm{RS}\left[6\right]\right]\right)$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(4,3)''\,\mathrm{so43}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['R'\,'\mathrm{\sigma }'\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e16}\right]\=\mathrm{e16}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e19}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e17}\right]\=\mathrm{e16}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e20}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e18}\right]\=\mathrm{e16}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e21}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e16}\right]\=\mathrm{e17}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e19}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e17}\right]\=\mathrm{e17}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e20}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e5}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e18}\right]\=\mathrm{e17}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e21}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e16}\right]\=\mathrm{e18}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e19}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e17}\right]\=\mathrm{e18}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e20}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e18}\right]\=\mathrm{e18}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e21}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e19}\right]\=\mathrm{e17}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e16}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e19}\right]\=\mathrm{e18}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e16}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e5}-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e20}\right]\=\mathrm{e18}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e17}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e16}\right]\=\mathrm{e20}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e17}\right]\=-\mathrm{e19}\,\left[\mathrm{e14}\,\mathrm{e16}\right]\=\mathrm{e21}\,\left[\mathrm{e14}\,\mathrm{e18}\right]\=-\mathrm{e19}\,\left[\mathrm{e15}\,\mathrm{e17}\right]\=\mathrm{e21}\,\left[\mathrm{e15}\,\mathrm{e18}\right]\=-\mathrm{e20}\,\left[\mathrm{e16}\,\mathrm{e17}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e16}\,\mathrm{e18}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e16}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e16}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e16}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e17}\,\mathrm{e18}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e17}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e17}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e17}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e18}\,\mathrm{e19}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e18}\,\mathrm{e20}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e18}\,\mathrm{e21}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e19}\,\mathrm{e20}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e19}\,\mathrm{e21}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e20}\,\mathrm{e21}\right]\=\mathrm{e15}\right]\,\left[\mathrm{R11}\,\mathrm{R12}\,\mathrm{R13}\,\mathrm{R21}\,\mathrm{R22}\,\mathrm{R23}\,\mathrm{R31}\,\mathrm{R32}\,\mathrm{R33}\,\mathrm{R15}\,\mathrm{R16}\,\mathrm{R26}\,\mathrm{R42}\,\mathrm{R43}\,\mathrm{R53}\,\mathrm{R17}\,\mathrm{R27}\,\mathrm{R37}\,\mathrm{R47}\,\mathrm{R57}\,\mathrm{R67}\right]\,\left[\mathrm{\σ11}\,\mathrm{\σ12}\,\mathrm{\σ13}\,\mathrm{\σ21}\,\mathrm{\σ22}\,\mathrm{\σ23}\,\mathrm{\σ31}\,\mathrm{\σ32}\,\mathrm{\σ33}\,\mathrm{\σ15}\,\mathrm{\σ16}\,\mathrm{\σ26}\,\mathrm{\σ42}\,\mathrm{\σ43}\,\mathrm{\σ53}\,\mathrm{\σ17}\,\mathrm{\σ27}\,\mathrm{\σ37}\,\mathrm{\σ47}\,\mathrm{\σ57}\,\mathrm{\σ67}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so43}$

$\mathrm{CSA}≔\mathrm{CartanSubalgebra}\left(\mathrm{so43}\right)$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{R11}\,\mathrm{R22}\,\mathrm{R33}\right]$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[1\,0\,0\right]\=\mathrm{R17}\,\left[-1\,1\,0\right]\=\mathrm{R21}\,\left[0\,-1\,0\right]\=\mathrm{R57}\,\left[0\,1\,0\right]\=\mathrm{R27}\,\left[0\,-1\,1\right]\=\mathrm{R32}\,\left[-1\,0\,1\right]\=\mathrm{R31}\,\left[0\,0\,1\right]\=\mathrm{R37}\,\left[0\,0\,-1\right]\=\mathrm{R67}\,\left[-1\,-1\,0\right]\=\mathrm{R42}\,\left[0\,1\,1\right]\=\mathrm{R26}\,\left[1\,0\,1\right]\=\mathrm{R16}\,\left[1\,1\,0\right]\=\mathrm{R15}\,\left[-1\,0\,0\right]\=\mathrm{R47}\,\left[0\,1\,-1\right]\=\mathrm{R23}\,\left[1\,-1\,0\right]\=\mathrm{R12}\,\left[-1\,0\,-1\right]\=\mathrm{R43}\,\left[1\,0\,-1\right]\=\mathrm{R13}\,\left[0\,-1\,-1\right]\=\mathrm{R53}\right]\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[-1\,0\,-1\right]\=\mathrm{R43}\,\left[0\,1\,0\right]\=\mathrm{R27}\,\left[0\,1\,-1\right]\=\mathrm{R23}\,\left[0\,-1\,0\right]\=\mathrm{R57}\,\left[-1\,0\,0\right]\=\mathrm{R47}\,\left[1\,-1\,0\right]\=\mathrm{R12}\,\left[0\,1\,1\right]\=\mathrm{R26}\,\left[1\,1\,0\right]\=\mathrm{R15}\,\left[0\,-1\,-1\right]\=\mathrm{R53}\,\left[-1\,1\,0\right]\=\mathrm{R21}\,\left[0\,0\,-1\right]\=\mathrm{R67}\,\left[-1\,-1\,0\right]\=\mathrm{R42}\,\left[0\,-1\,1\right]\=\mathrm{R32}\,\left[1\,0\,1\right]\=\mathrm{R16}\,\left[-1\,0\,1\right]\=\mathrm{R31}\,\left[1\,0\,0\right]\=\mathrm{R17}\,\left[0\,0\,1\right]\=\mathrm{R37}\,\left[1\,0\,-1\right]\=\mathrm{R13}\right]\right)$

$\mathrm{RT}≔\mathrm{map}\left(\mathrm{Vector}\,\left[\left[0\,1\,-1\right]\,\left[1\,0\,0\right]\,\left[1\,0\,-1\right]\,\left[1\,1\,0\right]\,\left[0\,-1\,0\right]\,\left[0\,0\,-1\right]\,\left[0\,1\,1\right]\,\left[1\,-1\,0\right]\,\left[-1\,0\,-1\right]\,\left[-1\,-1\,0\right]\,\left[-1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[1\,0\,1\right]\,\left[-1\,0\,1\right]\,\left[-1\,1\,0\right]\,\left[0\,-1\,1\right]\,\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,-1\,-1\right]\right]\right)$

$\mathrm{RS}≔\left[\mathrm{seq}\left(\mathrm{RSD}\left[\mathrm{convert}\left(v\,\mathrm{list}\right)\right]\,v=\mathrm{RT}\right)\right]$

$\mathrm{RS}:=\left[\mathrm{R23}\,\mathrm{R17}\,\mathrm{R13}\,\mathrm{R15}\,\mathrm{R57}\,\mathrm{R67}\,\mathrm{R26}\,\mathrm{R12}\,\mathrm{R43}\,\mathrm{R42}\,\mathrm{R47}\,\mathrm{R37}\,\mathrm{R16}\,\mathrm{R31}\,\mathrm{R21}\,\mathrm{R32}\,\mathrm{R27}\,\mathrm{R53}\right]$

$\mathrm{RT}\left[2\right]+\mathrm{RT}\left[12\right],\mathrm{RT}\left[13\right]$

$\mathrm{LieBracket}\left(\mathrm{RS}\left[2\right]\,\mathrm{RS}\left[12\right]\right),\mathrm{RS}\left[13\right]$

$\mathrm{R16}\,\mathrm{R16}$

$H≔\mathrm{LieBracket}\left(\mathrm{RSD}\left[\left[1\,0\,1\right]\right]\,\mathrm{RSD}\left[-\left[1\,0\,1\right]\right]\right)$

$H:=-\mathrm{R11}-\mathrm{R33}$

$\mathrm{PR}≔\mathrm{PositiveRoots}\left(\mathrm{RT}\,⟨5\,3\,1⟩\right)$

$\mathrm{PS}≔\left[\mathrm{seq}\left(\mathrm{RSD}\left[\mathrm{convert}\left(v\,\mathrm{list}\right)\right]\,v=\mathrm{PR}\right)\right]$

$\mathrm{PS}:=\left[\mathrm{R23}\,\mathrm{R17}\,\mathrm{R13}\,\mathrm{R15}\,\mathrm{R26}\,\mathrm{R12}\,\mathrm{R37}\,\mathrm{R16}\,\mathrm{R27}\right]$

$\mathrm{Killing}\left(\mathrm{PS}\right)$