Find the center of a Lie algebra.

Find the radical of a Lie algebra.

Find the nilradical of a Lie algebra.

Find the smallest subalgebras and ideals containing a given set of vectors.

Find the centralizer of a set of vectors.

Find the normalizer of a subalgebra.

Find the generalized center of an ideal.

Find the derived algebra of a Lie algebra.

Find the derived series of a Lie algebra.

Find the lower central series of a Lie algebra.

Find the upper central series of a Lie algebra.

Find a canonical basis for a subalgebra of a Lie algebra.

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 3], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

C := Center();

$C≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\right]$

g := [e1, e2, e3, e4, e5];

$g≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

Matrix(2, 5, (i, j) -> LieBracket(C[i], g[j]));

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 40], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

R := Radical();

$R≔\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e4}\right]$

Query(R, "Solvable");

$\mathrm{true}$

Query(R, "Ideal");

$\mathrm{true}$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 38], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

N := Nilradical();

$N≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

Query(N, "Nilpotent");

$\mathrm{true}$

Query(N, "Ideal");

$\mathrm{true}$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Turkowski", 1, [7, 5], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

DGsetup(L):

S := [e2, e5];

$S≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]$

A := MinimalSubalgebra(S);

$A≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

Query(A, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

B := MinimalIdeal(S);

$B≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

Query(B, "Ideal");

$\mathrm{true}$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Turkowski", 1, [ 7, 5], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

DGsetup(L):

S := [e3, e4];

$S≔\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]$

C := Centralizer(S);

$C≔\left[\mathrm{e6}\right]$

LieBracket(e3,e6), LieBracket(e4,e6);

$0\mathrm{e1}\,0\mathrm{e1}$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Turkowski", 1, [7, 5], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

S := [e1, e2, e3];

$S≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

Query(S, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

N := SubalgebraNormalizer(S);

$N≔\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\right]$

B := BracketOfSubspaces(S, N);

$B≔\left[-2\mathrm{e3}\,2\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [6, 8], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

DGsetup(L):

h := [e5, e6];

$h≔\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

Query(h, "Ideal");

$\mathrm{true}$

k := GeneralizedCenter(h);

$k≔\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

Query(k, "Ideal");

$\mathrm{true}$

G := [e1, e2, e3, e4, e5, e6];

$G≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

BracketOfSubspaces(k, G);

$\left[-\mathrm{e6}\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [5, 3], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

DGsetup(L);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

A := DerivedAlgebra();

$A≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]$

Query(A, "Ideal");

$\mathrm{true}$

G:= [e1, e2, e3, e4, e5];

$G≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

BracketOfSubspaces(G, G);

$\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Turkowski", 2, [6, 39], Alg1)[1];

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\right]$

DGsetup(L):

D0 := Series("Derived");

$\mathrm{D0}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\,-\mathrm{e4}\,2\mathrm{e3}\right]\,\left[-\mathrm{e3}\right]\,\left[\right]\right]$

G := [e1, e2, e3, e4, e5, e6];

$G≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

DS := map(Tools:-CanonicalBasis, D0, G);

$\mathrm{DS}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[\mathrm{e3}\right]\,\left[\right]\right]$

A := BracketOfSubspaces(DS[2], DS[2]);

$A≔\left[-\mathrm{e3}\right]$

Tools:-DGequal(A, DS[3]);

$\mathrm{true}$

S := [e3, e4, e5, e6];

$S≔\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

Query(S, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

Series(S, "Derived");

$\left[\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[-\mathrm{e3}\right]\,\left[\right]\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Turkowski", 2, [6, 39], Alg1)[1];

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\right]$

DGsetup(L):

L0 := Series("Lower");

$\mathrm{L0}≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\,-\mathrm{e4}\,2\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e4}\,-\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\right]\,\left[-\mathrm{e5}\,-\mathrm{e4}\,-\mathrm{e3}\right]\right]$

G := [e1, e2, e3, e4, e5, e6];

$G≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

LS := map(Tools:-CanonicalBasis, L0, G);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\right]$

A := BracketOfSubspaces(LS[2], G);

$A≔\left[-2\mathrm{e3}\,-\mathrm{e5}\,-\mathrm{e4}\right]$

Tools:-DGequal(A, LS[3]);

$\mathrm{true}$

S := [e3, e4, e5, e6];

$S≔\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

Query(S, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

Series(S, "Lower");

$\left[\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\,\left[-\mathrm{e3}\right]\,\left[\right]\right]$

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): with(Library):

L := Retrieve("Winternitz", 1, [6, 8], Alg1);

$L≔\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\right]$

DGsetup(L):

CS := Series("Upper");

$\mathrm{CS}≔\left[\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\right]$

C := Center();

$C≔\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]$

C1 := GeneralizedCenter(C);

$\mathrm{C1}≔\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e4}\right]$

S := [e2, e5, e6];

$S≔\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]$

Query(S, "Subalgebra");

$\mathrm{true}$

Series(S, "Upper");

$\left[\left[\mathrm{e6}\right]\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\right]\right]$