If $X$ is a quaternion or octonion then the norm of is $∥X∥ \= \sqrt{X\cdot \overline{X^{{ }^{}}}}$ where $\overline{X^{{ }^{}}}$ is the conjugate of $X$.

The inverse of $X$ is $X^{-1} \= \stackrel{\_}{X^{{ }^{}}}\/{∥X∥}^2$.

For example, if $X$is the quaternion $X\=a \+ b\mathit{i} \+ c\mathit{j}\mathbf{ }\+d\mathit{k}$, then $\overline{X^{{ }^{}}}$= $a - b\mathit{i} - c\mathit{j} -d\mathit{k}\mathbf{\,}\mathbf{ }∥X∥ \= \sqrt{a^{2 }\+b^{2 } \+c^{2 } \+d^2}$ and $X^{-1}$ = $\frac{ a- b\mathit{i} - c\mathit{j} -d\mathit{k}}{a^{2 }\+b^{2 } \+c^{2 } \+d^2}$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Quaternions''\,\mathrm{Qalg}\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\,\left['e'\,'i'\,'j'\,'k'\right]\,\left['\mathrm{\alpha }'\right]\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Qalg}$

$X≔2e+3i-4j+k$

$X:=2e\+3i-4j\+k$

$\mathrm{AlgebraNorm}\left(X\right)$

$\sqrt{30}$

$Y≔\mathrm{AlgebraInverse}\left(X\right)$

$Y:=\frac{1}{15}e-\frac{1}{10}i\+\frac{2}{15}j-\frac{1}{30}k$

$\mathrm{evalDG}\left(X·Y\right)$

$e$

$\mathrm{AD}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Octonions''\,\mathrm{Oalg}\right)$

$\mathrm{AD}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e5}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e8}\,{\mathrm{e5}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e6}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e7}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\.\mathrm{e8}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e7}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e6}\=\mathrm{e4}\,{\mathrm{e7}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\.\mathrm{e8}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e8}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e7}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e5}\=-\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e6}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\.\mathrm{e7}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e8}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Oalg}$

$X≔2\mathrm{e1}+3\mathrm{e4}-4\mathrm{e5}+6\mathrm{e7}$

$X:=2\mathrm{e1}\+3\mathrm{e4}-4\mathrm{e5}\+6\mathrm{e7}$

$\mathrm{AlgebraNorm}\left(X\right)$

$\sqrt{65}$

$Y≔\mathrm{AlgebraInverse}\left(X\right)$

$Y:=\frac{2}{65}\mathrm{e1}-\frac{3}{65}\mathrm{e4}\+\frac{4}{65}\mathrm{e5}-\frac{6}{65}\mathrm{e7}$

$\mathrm{evalDG}\left(X·Y\right)$

$\mathrm{e1}$