Let g be a semi-simple, real Lie algebra. Then g is called compact if the Killing form $⟨\,⟩$of g is negative-definite, otherwise g is called non-compact.  

A Cartan involution of g is a Lie algebra automorphism Θ : g → g such that [i]${\mathrm{\Θ}}^2 \= \mathrm{Id}$, and [ii] the symmetric bilinear form $B_{{\mathrm{\Θ}}_{}}\left(x\,y\right) \= -⟨x\,{\mathrm{\Θ}}_{}\left(y\right)⟩$is positive-definite.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[h\,x\right]=2x\,\left[h\,y\right]=-2y\,\left[x\,y\right]=h\right]\,\left[h\,x\,y\right]\,\mathrm{sl2}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl2}$

$\mathrm{\Θ1}≔\mathrm{Transformation}\left(\left[\left[\mathrm{e1}\,-\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,-\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,-\mathrm{e2}\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Θ1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,-\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,-\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,-\mathrm{e2}\right]\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\Θ1}\,''CartanInvolution''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\Θ2}≔\mathrm{Transformation}\left(\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,-\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,-\mathrm{e3}\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Θ2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,-\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,-\mathrm{e3}\right]\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\Θ2}\,''CartanInvolution''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\Θ2}\,''Homomorphism''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{ComposeTransformations}\left(\mathrm{\Θ2}\,\mathrm{\Θ2}\right)$

$\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\right]\right]$

$V≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$V:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Matrix}\left(3\,3\,\left(i\,j\right)\mapsto \mathrm{Killing}\left(V\left[i\right]\,\mathrm{ApplyHomomorphism}\left(\mathrm{\Θ2}\,V\left[j\right]\right)\right)\right)$