The Kronecker delta tensor $K$ of rank $r$ is the type $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{r}\right)$ tensor which is defined as follows. Let $I$ be the type $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ tensor whose components in any coordinate system are given by the identity matrix, that is, for any vector field $I\left(X\right)\=X$. Then $K$ is obtained from the $r$-fold tensor product of $I$ fully skew-symmetrizing over all the covariant indices.

The command KroneckerDelta(spatialType, r) returns the rank r Kronecker delta tensor $K$ of the type specified by indexType in the current frame unless the frame is explicitly specified.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form KroneckerDelta(...) only after executing the command with(DifferentialGeometry) and with(Tensor) in that order. It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-KroneckerDelta.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)\:$

$\mathrm{K1}≔\mathrm{KroneckerDelta}\left(''bas''\,1\right)$

$\mathrm{K1}:=\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}$

$\mathrm{K2}≔\mathrm{KroneckerDelta}\left(''bas''\,2\right)$

$\mathrm{K2}:=\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}$

$\mathrm{K3}≔\mathrm{KroneckerDelta}\left(''bas''\,3\right)$

$\mathrm{K3}:=-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}$

$\mathrm{ContractIndices}\left(\mathrm{K3}\,\left[\left[3\,6\right]\right]\right)\&minus\mathrm{K2}$

$0\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{ContractIndices}\left(\mathrm{K2}\,\left[\left[2\,4\right]\right]\right)\&minus\left(2\&mult\mathrm{K1}\right)$

$0\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}$

$\mathrm{T0}≔\mathrm{RearrangeIndices}\left(\mathrm{K1}\&tensor\mathrm{K1}\,\left[1\,3\,2\,4\right]\right)$

$\mathrm{T0}≔\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$T≔2\&mult\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(\mathrm{T0}\,\left[1\,2\right]\,''SkewSymmetric''\right)$

$T≔\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dx}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dy}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_x}\mathrm{dy}\mathrm{dx}+\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dy}\mathrm{dz}-\mathrm{D\_y}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dy}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\mathrm{D\_z}\mathrm{D\_y}\mathrm{dz}\mathrm{dy}$

$T\&minus\mathrm{K2}$

$0\mathrm{D\_x}\mathrm{D\_x}\mathrm{dx}\mathrm{dx}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,\left[p\,q\right]\,E\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; E}$

$\mathrm{K1}≔\mathrm{KroneckerDelta}\left(''vrt''\,1\right)$

$\mathrm{K1}≔\mathrm{D\_p}\mathrm{dp}+\mathrm{D\_q}\mathrm{dq}$

$\mathrm{K2}≔\mathrm{KroneckerDelta}\left(''vrt''\,2\right)$

$\mathrm{K2}≔\mathrm{D\_p}\mathrm{D\_q}\mathrm{dp}\mathrm{dq}-\mathrm{D\_p}\mathrm{D\_q}\mathrm{dq}\mathrm{dp}-\mathrm{D\_q}\mathrm{D\_p}\mathrm{dp}\mathrm{dq}+\mathrm{D\_q}\mathrm{D\_p}\mathrm{dq}\mathrm{dp}$