Let g be a semi-simple real Lie algebra. Then g is called compact if the Killing form $⟨ \, ⟩$ of g is negative-definite, otherwise  g is called non-compact.  

A Cartan decomposition is a vector space decomposition g = t ⊕p , where [i] t is a subalgebra, [ii] p is a subspace, [iii] [t, p] ⊆ p, [iv] [p, p] ⊆ t, [v] the Killing form is negative-definite on t and [vi] Killing form is positive-definite on p.  

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[h\,x\right]=2x\,\left[h\,y\right]=-2y\,\left[x\,y\right]=h\right]\,\left[h\,x\,y\right]\,\mathrm{sl2}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl2}$

$\mathrm{T1},\mathrm{P1}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\right]\right),\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}+\mathrm{e3}\right]\right)$

$\mathrm{T1}\,\mathrm{P1}:=\left[\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{T1}\,\mathrm{P1}\,''CartanDecomposition''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{T2},\mathrm{P2}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e2}+\mathrm{e3}\right]\right),\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\right]\right)$

$\mathrm{T2}\,\mathrm{P2}:=\left[\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{T2}\,\mathrm{P2}\,''CartanDecomposition''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{T2}\,\mathrm{P2}\,''SymmetricPair''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Killing}\left(\mathrm{P2}\right)$