This command calculates the tensors in the span of the tensors in the list S which are invariant with respect to the infinitesimal action generated by the matrices in the list A. This is a pointwise calculation.

 Let $\left[x^1\, x^2\, ..\. x^n \right]$ be the coordinates in terms of which the tensors in the list S are defined. If $P \= \left[p_j^i\right]$and $X\= X^i {\partial }_i \,$then $P\left(X\right)\= - p_{j }^i X^j {\partial }_i \.$If  $\mathrm{\α} \= a_i \mathrm{dx}{ }^i$ , then $P\left(\mathrm{\α}\right)\= p_{j }^i a^j {\mathrm{dx}}^i \.$If  $T_{1 }$and $T_2$are tensors, then $P\left(T_1 \otimes T_2\right) \= P\left(T_1 \right)\otimes T_2 \+ T_1 \otimes P\left( T_2\right)$. Thus, the action of $P$ on a tensor $T_{ }$ defined at a point coincides with the Lie derivative of $T_{}$(as a tensor with constant coefficients) with respect to the linear vector field$Z_P \= p_{j }^i x^j {\partial }_i \,$that is, $P \left(T\right) \= L_{Z_P}\left(T\right)$. See Example 6 for examples of this action of matrices on tensors.

 If $A \= \left[P_1 \, P_{2 }\, ..\. \, P_n\right]$and $S \= \left[T_1 \, T_{2 }\, ..\. \, T_m\right]\,$then InvariantTensorsAtAPoint(A, S) returns a basis for the vector space of all tensors $T \= t^1{T}_{1 } \+ t^2{T}_{2 } \+ .. \. \+ t^m{T}_m$ ($t^{i }$constant) such that  $P_1\left(T\right) \= P_2\left(T\right) \=\. \. \.\= P_m\left(T\right) \= 0.$

If no invariant tensors exist, an empty list is returned.

With output = "list", a list of invariant tensors is returned. This is the default. With output = "general", a single tensor with arbitrary coefficients ${\mathrm{\_C}}_1 \, {\mathrm{\_C}}_2 \, ..\.$is returned. If the number of matrices in the list A is 1 and output = "action", then the action of the matrix in A on the tensors in S is returned.

 In many cases, the list of tensors $S$to be used by InvariantTensorsAtAPoint can be created with the commands GenerateTensors, GenerateSymmetricTensors, GenerateForms.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{GroupActions}\right)\:$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,-1\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$S≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\&t\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\&t\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}\right]\right)$

$S:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,S\right)$

$\left[-\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\mathrm{dx}\mathrm{dy}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[-1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[-\frac{1}{y^2}\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,-\frac{1}{y^2}\,0\right]\right]\right)\right]$

$S≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\&s\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\&t\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}\,\mathrm{dy}\&s\mathrm{dz}\,\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right]\right)$

$S:=\left[\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\mathrm{dx}\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,S\right)$

$\left[\frac{\mathrm{dx}\mathrm{dx}}{y^2}\+\frac{\mathrm{dy}\mathrm{dy}}{y^2}\+\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''sp(4,\; R)''\,\mathrm{sp4R}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sp4R}$

$A≔\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{sp4R}\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)\:$

$\mathrm{\Omega }≔\mathrm{Tools}:-\mathrm{GenerateForms}\left(\left[\mathrm{dx1}\,\mathrm{dx2}\,\mathrm{dx3}\,\mathrm{dx4}\right]\,2\right)$

$\mathrm{\Ω}:=\left[\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx2}\,\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx3}\,\mathrm{dx1}\bigwedge \mathrm{dx4}\,\mathrm{dx2}\bigwedge \mathrm{dx3}\,\mathrm{dx2}\bigwedge \mathrm{dx4}\,\mathrm{dx3}\bigwedge \mathrm{dx4}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\mathrm{\Omega }\right)$

$\left[\mathrm{dx1}\mathrm{dx3}\bigwedge \+\mathrm{dx2}\mathrm{dx4}\bigwedge \right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{FD}≔\mathrm{FrameData}\left(\left[\mathrm{dx}+y\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\,N\right)$

$\mathrm{FD}:=\left[d\mathrm{\Θ1}\=\mathrm{\Θ2}\bigwedge \mathrm{\Θ3}\,d\mathrm{\Θ2}\=0\,d\mathrm{\Θ3}\=0\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{FD}\,\left['\mathrm{X1}'\,'\mathrm{X2}'\,'\mathrm{X3}'\right]\,\left['\mathrm{\ω1}'\,'\mathrm{\ω2}'\,'\mathrm{\ω3}'\right]\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; N}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\right]$

$B≔\left[\mathrm{X1}\,\mathrm{X2}\,\mathrm{X3}\right]$

$\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,N\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,N\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,N\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,B\right)$

$\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,N\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\Ω1}≔\left[\mathrm{\ω1}\,\mathrm{\ω2}\,\mathrm{\ω3}\right]$

$\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,N\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,N\,1\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,N\,1\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\mathrm{\Ω1}\right)$

$\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,N\,1\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\Ω2}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{\ω1}\&w\mathrm{\ω2}\,\mathrm{\ω1}\&w\mathrm{\ω3}\,\mathrm{\ω2}\&w\mathrm{\ω3}\right]\right)$

$\mathrm{\Ω2}:=\left[\mathrm{\ω1}\bigwedge \mathrm{\ω2}\,\mathrm{\ω1}\bigwedge \mathrm{\ω3}\,\mathrm{\ω2}\bigwedge \mathrm{\ω3}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\mathrm{\Ω2}\right)$

$\left[\mathrm{\ω2}\bigwedge \mathrm{\ω3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,\left[u\,v\right]\,E\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; E}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,-1\right]\right]\right)\right]$

$S≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{D\_u}\&t\mathrm{D\_u}\,\mathrm{D\_u}\&t\mathrm{D\_v}+\mathrm{D\_v}\&t\mathrm{D\_u}\,\mathrm{D\_v}\&t\mathrm{D\_v}\right]\right)$

$S:=\left[\mathrm{D\_u}\mathrm{D\_u}\,\mathrm{D\_u}\mathrm{D\_v}\+\mathrm{D\_u}\mathrm{D\_v}\,\mathrm{D\_v}\mathrm{D\_v}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,S\right)$

$\left[\mathrm{D\_u}\mathrm{D\_v}\+\mathrm{D\_u}\mathrm{D\_v}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[a\,b\,c\right]\,\left[0\,r\,s\right]\,\left[0\,0\,t\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]\,\mathrm{output}=''action''\right)$

$\left[-a\mathrm{D\_x}\,-\mathrm{D\_x}b-\mathrm{D\_y}r\,-\mathrm{D\_x}c-\mathrm{D\_y}s-\mathrm{D\_z}t\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\,\mathrm{output}=''action''\right)$

$\left[a\mathrm{dx}\+b\mathrm{dy}\+c\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}r\+\mathrm{dz}s\,t\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,\left[\mathrm{dx}\&t\mathrm{D\_y}\right]\,\mathrm{output}=''action''\right)$

$\left[-b\mathrm{dx}\mathrm{D\_x}\+\left(a-r\right)\mathrm{dx}\mathrm{D\_y}\+b\mathrm{dy}\mathrm{D\_y}\+c\mathrm{dz}\mathrm{D\_y}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{Gamma}≔\left[\frac{z\cos \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)t\right)\mathrm{D\_t}}{\mathrm{sqrt}\left(1+\mathrm{\lambda }{z}^2\right)}+\frac{\mathrm{sqrt}\left(1+\mathrm{\lambda }{z}^2\right)\sin \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)t\right)\mathrm{D\_z}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\,-\frac{z\sin \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)t\right)\mathrm{D\_t}}{\mathrm{sqrt}\left(1+\mathrm{\lambda }{z}^2\right)}+\frac{\mathrm{sqrt}\left(1+\mathrm{\lambda }{z}^2\right)\cos \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)t\right)\mathrm{D\_z}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\,-\frac{y\cos \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)x\right)\mathrm{D\_x}}{\mathrm{sqrt}\left(1-\mathrm{\lambda }{y}^2\right)}+\frac{\mathrm{sqrt}\left(1-\mathrm{\lambda }{y}^2\right)\sin \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)x\right)\mathrm{D\_y}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\,\frac{y\sin \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)x\right)\mathrm{D\_x}}{\mathrm{sqrt}\left(1-\mathrm{\lambda }{y}^2\right)}+\frac{\mathrm{sqrt}\left(1-\mathrm{\lambda }{y}^2\right)\cos \left(\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)x\right)\mathrm{D\_y}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\,-\frac{\mathrm{D\_x}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\,-\frac{\mathrm{D\_t}}{\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{\lambda }\right)}\right]$

$\mathrm{\Γ}:=\left[\frac{z\cos \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\mathrm{D\_t}}{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}}\+\frac{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\mathrm{D\_z}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\,-\frac{z\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\mathrm{D\_t}}{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}}\+\frac{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}\cos \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\mathrm{D\_z}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\,-\frac{y\cos \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}x\right)\mathrm{D\_x}}{\sqrt{-y^2\mathrm{\λ}\+1}}\+\frac{\sqrt{-y^2\mathrm{\λ}\+1}\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}x\right)\mathrm{D\_y}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\,\frac{y\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}x\right)\mathrm{D\_x}}{\sqrt{-y^2\mathrm{\λ}\+1}}\+\frac{\sqrt{-y^2\mathrm{\λ}\+1}\cos \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}x\right)\mathrm{D\_y}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\,-\frac{\mathrm{D\_x}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\,-\frac{\mathrm{D\_t}}{\sqrt{\mathrm{\λ}}}\right]$

$\mathrm{A0}≔\mathrm{IsotropySubalgebra}\left(\mathrm{Gamma}\,\left[t=\mathrm{t0}\,x=\mathrm{x0}\,y=\mathrm{y0}\,z=\mathrm{z0}\right]\,\mathrm{output}=\left[''Representation''\right]\right)$

$A≔\mathrm{subs}\left(\left[\mathrm{z0}=z\,\mathrm{y0}=y\right]\,\mathrm{Tools}:-\mathrm{CanonicalBasis}\left(\mathrm{A0}\right)\right)$

$S≔\mathrm{GenerateSymmetricTensors}\left(\left[\mathrm{dt}\,\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]\,2\right)$

$S:=\left[\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\+\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\,\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dt}\,\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\,\mathrm{dx}\mathrm{dx}\,\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dx}\,\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\mathrm{dy}\,\frac{1}{2}\mathrm{dy}\mathrm{dz}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{InvTpt}≔\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,S\right)$

$\mathrm{InvTpt}:=\left[-\left(z^4{\mathrm{\λ}}^2\+2z^2\mathrm{\λ}\+1\right)\mathrm{dt}\mathrm{dt}\+\mathrm{dz}\mathrm{dz}\,\left(y^4{\mathrm{\λ}}^2-2y^2\mathrm{\λ}\+1\right)\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+\mathrm{dy}\mathrm{dy}\right]$

$\mathrm{LieT}≔\mathrm{LieDerivative}\left(\mathrm{Gamma}\left[1\right]\,\mathrm{InvTpt}\right)$

$\mathrm{LieT}:=\left[-\frac{2z\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\sqrt{\mathrm{\λ}}\left(z^4{\mathrm{\λ}}^2\+2z^2\mathrm{\λ}\+1\right)\mathrm{dt}\mathrm{dt}}{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}}\+\frac{2z\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\sqrt{\mathrm{\λ}}\mathrm{dz}\mathrm{dz}}{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]$

$\mathrm{GetComponents}\left(\mathrm{LieT}\,\mathrm{InvTpt}\right)$

$\left[\left[\frac{2z\sin \left(\sqrt{\mathrm{\λ}}t\right)\sqrt{\mathrm{\λ}}}{\sqrt{z^2\mathrm{\λ}\+1}}\,0\right]\,\left[0\,0\right]\right]$

$\mathrm{invT}≔\mathrm{InvariantGeometricObjectFields}\left(\mathrm{Gamma}\,\mathrm{InvTpt}\,\mathrm{output}=''list''\right)$

$\mathrm{invT}:=\left[\left(y^2\mathrm{\λ}-1\right)\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+\frac{\mathrm{dy}\mathrm{dy}}{y^2\mathrm{\λ}-1}\,-\left(z^2\mathrm{\λ}\+1\right)\mathrm{dt}\mathrm{dt}\+\frac{\mathrm{dz}\mathrm{dz}}{z^2\mathrm{\λ}\+1}\right]$

$\mathrm{LieDerivative}\left(\mathrm{Gamma}\,\mathrm{invT}\right)$

$\left[\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\,\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\,\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\,\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\,\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\,\left[0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\,0\mathrm{dt}\mathrm{dt}\right]\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$n≔\mathrm{z1}\mathrm{w1}+\mathrm{z2}\mathrm{w2}$

$n:=\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}$

$\mathrm{o1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dz1}\&s\mathrm{dw1}+\mathrm{dz2}\&s\mathrm{dw2}\right)$

$\mathrm{o1}:=\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}$

$\mathrm{o2}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{z1}\mathrm{dw1}+\mathrm{z2}\mathrm{dw2}\right)$

$\mathrm{o2}:=\mathrm{dw1}\mathrm{z1}\+\mathrm{dw2}\mathrm{z2}$

$\mathrm{o3}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{w1}\mathrm{dz1}+\mathrm{w2}\mathrm{dz2}\right)$

$\mathrm{o3}:=\mathrm{dz1}\mathrm{w1}\+\mathrm{dz2}\mathrm{w2}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\frac{1}{{\left(1+n\right)}^2}\left(\left(1+n\right)\mathrm{o1}-\mathrm{o2}\&t\mathrm{o3}-\mathrm{o3}\&t\mathrm{o2}\right)\right)$

$g:=-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z2}\mathrm{w1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z1}\mathrm{w2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}\+\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z1}\mathrm{w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z2}\mathrm{w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}\+\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}$

$\mathrm{H0}≔\mathrm{InfinitesimalHolonomy}\left(g\,\left[\right]\right)\:$

$A≔\mathrm{Tools}:-\mathrm{CanonicalBasis}\left(\%\right)$

$S≔\mathrm{GenerateSymmetricTensors}\left(\left[\mathrm{dz1}\,\mathrm{dz2}\,\mathrm{dw1}\,\mathrm{dw2}\right]\,2\right)$

$S:=\left[\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\,\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}\,\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}\,\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}\,\mathrm{dz2}\mathrm{dz2}\,\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}\,\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}\,\mathrm{dw1}\mathrm{dw1}\,\frac{1}{2}\mathrm{dw1}\mathrm{dw2}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw2}\mathrm{dw1}\,\mathrm{dw2}\mathrm{dw2}\right]$

$\mathrm{InvariantS}≔\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,S\right)$

$\mathrm{InvariantS}:=\left[-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}-\frac{\mathrm{w1}\mathrm{z2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}-\frac{\mathrm{w2}\mathrm{z1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}-\frac{\mathrm{w2}\mathrm{z1}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}-\frac{\mathrm{w1}\mathrm{z2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}}{\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1}\+\frac{1}{2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}\right]$

$\mathrm{CovariantlyConstantTensors}\left(g\,\mathrm{InvariantS}\right)$

$\left[-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z2}\mathrm{w1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z1}\mathrm{w2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}\+\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}-1\right)\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z1}\mathrm{w2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}-\frac{\mathrm{z2}\mathrm{w1}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}\+\frac{1}{2}\frac{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}-\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}}{{\left(\mathrm{w1}\mathrm{z1}\+\mathrm{w2}\mathrm{z2}\+1\right)}^2}\right]$

$J≔\mathrm{GenerateTensors}\left(\left[\left[\mathrm{D\_z1}\,\mathrm{D\_z2}\,\mathrm{D\_w1}\,\mathrm{D\_w2}\right]\,\left[\mathrm{dz1}\,\mathrm{dz2}\,\mathrm{dw1}\,\mathrm{dw2}\right]\right]\right)$

$J:=\left[\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz1}\,\mathrm{D\_z1}\mathrm{dz2}\,\mathrm{D\_z1}\mathrm{dw1}\,\mathrm{D\_z1}\mathrm{dw2}\,\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz1}\,\mathrm{D\_z2}\mathrm{dz2}\,\mathrm{D\_z2}\mathrm{dw1}\,\mathrm{D\_z2}\mathrm{dw2}\,\mathrm{D\_w1}\mathrm{dz1}\,\mathrm{D\_w1}\mathrm{dz2}\,\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw1}\,\mathrm{D\_w1}\mathrm{dw2}\,\mathrm{D\_w2}\mathrm{dz1}\,\mathrm{D\_w2}\mathrm{dz2}\,\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw1}\,\mathrm{D\_w2}\mathrm{dw2}\right]$

$\mathrm{InvariantJ}≔\mathrm{InvariantTensorsAtAPoint}\left(A\,J\right)$

$\mathrm{InvariantJ}:=\left[\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}\+\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}\+\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}\+\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}\right]$

$\mathrm{CovariantlyConstantTensors}\left(g\,\mathrm{InvariantJ}\right)$

$\left[\mathrm{dw1}\mathrm{D\_w1}\+\mathrm{dw2}\mathrm{D\_w2}\+\mathrm{dz1}\mathrm{D\_z1}\+\mathrm{dz2}\mathrm{D\_z2}\right]$