Let $g$ be a metric tensor. The trace-free Ricci tensor for $g$ is defined by $T_{\mathrm{ij}}\=R_{\mathrm{ij}}-\frac{1}{4}{g}_{\mathrm{ij}}S$ , where $R_{\mathrm{ij}}$ is the Ricci tensor and $S\=g^{\mathrm{ij}}{R}_{\mathrm{ij}}$ the Ricci scalar of $g$.

The command RicciSpinor(s$\mathbf{\sigma }\mathbf{ }$) first computes the metric tensor $g$ defined by the solder form s. The trace-free Ricci tensor $T$ for $g$ is then computed and converted, using the solder form $\mathrm{\σ}$ to a rank 4 covariant spinor with index type $T_{\mathrm{ABA}\'B\'}$. (See convert/DGspinor.) Finally, a scalar factor of $-\frac{1}{2}$ is introduced according to standard conventions. See Stewart, page 85.

If the Ricci tensor $R$ for the metric $g$ has been previously computed, then the Ricci spinor will be computed more quickly using the second calling sequence RicciSpinor($\mathbf{\sigma }$, R).

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form RicciSpinor(..) only after executing the commands with(DifferentialGeometry); with(Tensor); in that order. It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-RicciSpinor.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dt}\&t\mathrm{dt}+\exp \left(x\right)\mathrm{dt}\&s\mathrm{dz}-\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+\frac{1}{2}\exp \left(2x\right)\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=\mathrm{dt}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^x}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{{\ⅇ}^x}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^{2x}}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$F≔\mathrm{DGGramSchmidt}\left(\left[\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]\,g\,\mathrm{signature}=\left[1\,-1\,-1\,-1\right]\right)\mathbf{assuming}x::\mathrm{real}$

$F:=\left[\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{I}\mathrm{D\_t}-2\mathrm{I}{\ⅇ}^{-x}\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{\sigma }≔\mathrm{SolderForm}\left(F\right)$

$\mathrm{\σ}:=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dt}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w1}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dt}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dx}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{dx}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w1}-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{dy}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w2}+\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{dy}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w1}+\left(\frac{\mathrm{I}{\ⅇ}^x\sqrt{2}}{4}+\frac{{\ⅇ}^x\sqrt{2}}{4}\right)\mathrm{dz}\mathrm{D\_z1}\mathrm{D\_w1}+\left(-\frac{\mathrm{I}{\ⅇ}^x\sqrt{2}}{4}+\frac{{\ⅇ}^x\sqrt{2}}{4}\right)\mathrm{dz}\mathrm{D\_z2}\mathrm{D\_w2}$

$\mathrm{\Φ1}≔\mathrm{RicciSpinor}\left(\mathrm{\sigma }\right)$

$\mathrm{\Φ1}:=\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dw1}+\frac{3}{8}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dw1}+\frac{1}{16}\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dw1}+\frac{3}{8}\mathrm{dz2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dw1}+\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dw2}$

$\mathrm{R2}≔\mathrm{RicciTensor}\left(g\right)$

$\mathrm{R2}:=-\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dt}-\frac{{\ⅇ}^x}{4}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\frac{3}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{{\ⅇ}^x}{4}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^{2x}}{4}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{\Φ2}≔\mathrm{RicciSpinor}\left(\mathrm{\sigma }\,\mathrm{R2}\right)$

$\mathrm{\Φ2}:=\frac{1}{2}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dw1}+\frac{3}{8}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dw1}+\frac{1}{16}\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dw2}+\frac{1}{16}\mathrm{dz2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dw1}+\frac{3}{8}\mathrm{dz2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dw1}+\frac{1}{2}\mathrm{dz2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dw2}$

$\mathrm{g3}≔\mathrm{SpinorInnerProduct}\left(\mathrm{\sigma }\,\mathrm{\sigma }\right)$

$\mathrm{g3}:=\mathrm{dt}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^x}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\frac{{\ⅇ}^x}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^{2x}}{2}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$C≔\mathrm{CurvatureTensor}\left(g\right)$

$C:=-\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_t}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dz}+\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_t}\mathrm{dt}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{1}{4}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\mathrm{dx}-\frac{1}{4}\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-{\ⅇ}^x\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+{\ⅇ}^x\mathrm{D\_t}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}-\frac{{\ⅇ}^{2x}}{8}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\mathrm{dz}+\frac{{\ⅇ}^{2x}}{8}\mathrm{D\_t}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{1}{4}\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dx}-\frac{1}{4}\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dt}-\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\mathrm{dz}+\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dt}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\mathrm{dx}-\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dt}+\frac{3{\ⅇ}^{2x}}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\frac{3{\ⅇ}^{2x}}{8}\mathrm{D\_x}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\frac{1}{4}\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\frac{1}{4}\mathrm{D\_z}\mathrm{dt}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{7}{4}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dx}\mathrm{dz}-\frac{7}{4}\mathrm{D\_z}\mathrm{dx}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\frac{{\ⅇ}^x}{8}\mathrm{D\_z}\mathrm{dz}\mathrm{dz}\mathrm{dt}$

$R≔\mathrm{RicciTensor}\left(C\right)$

$R:=-\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dt}-\frac{{\ⅇ}^x}{4}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\frac{3}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\frac{{\ⅇ}^x}{4}\mathrm{dz}\mathrm{dt}+\frac{{\ⅇ}^{2x}}{4}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$S≔\mathrm{RicciScalar}\left(g\,C\right)$

$S:=\frac{5}{2}$

$T≔\mathrm{evalDG}\left(R-\frac{1}{4}gS\right)$

$T:=-\frac{9}{8}\mathrm{dt}\mathrm{dt}-\frac{9{\ⅇ}^x}{16}\mathrm{dt}\mathrm{dz}-\frac{7}{8}\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\frac{5}{8}\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\frac{9{\ⅇ}^x}{16}\mathrm{dz}\mathrm{dt}-\frac{{\ⅇ}^{2x}}{16}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$U≔\mathrm{convert}\left(T\,\mathrm{DGspinor}\,\mathrm{\sigma }\,\left[1\,2\right]\right)$

$U:=-\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}-\frac{1}{8}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}-\frac{3}{4}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}-\frac{1}{8}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}-\frac{1}{8}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz1}\mathrm{dw2}-\frac{3}{4}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}\mathrm{dz2}\mathrm{dw1}-\frac{1}{8}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz1}\mathrm{dw1}-\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}\mathrm{dz2}\mathrm{dw2}$

$\mathrm{\Φ1}\&minus\mathrm{RearrangeIndices}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)U\,\left[\left[2\,3\right]\right]\right)$

$0\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}\mathrm{dz1}$