The command EqualSaturatedIdeals(rc1, rc2, R) returns true if and only if the regular chains rc1 and rc2 generate the same saturated ideal.

This command is part of the RegularChains[ChainTools] package, so it can be used in the form EqualSaturatedIdeals(..) only after executing the command with(RegularChains[ChainTools]). However, it can always be accessed through the long form of the command by using RegularChains[ChainTools][EqualSaturatedIdeals](..).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{RegularChains}\right)\:$

$\mathrm{with}\left(\mathrm{ChainTools}\right)\:$

$R≔\mathrm{PolynomialRing}\left(\left[x\,y\,z\right]\right)$

$R≔\mathrm{polynomial\_ring}$

$\mathrm{sys}≔\left\{5y^4-3\,-20x+y-z\,-x^5+y^5-3y-1\right\}$

$\mathrm{sys}≔\left\{-20x+y-z\,5y^4-3\,-x^5+y^5-3y-1\right\}$

$\mathrm{dec}≔\mathrm{Triangularize}\left(\mathrm{sys}\,R\,\mathrm{normalized}=\mathrm{yes}\right)$

$\mathrm{dec}≔\left[\mathrm{regular\_chain}\right]$

$\mathrm{Equations}\left(\mathrm{dec}\left[1\right]\,R\right)$

$\left[11474127946569256007468861967138822599454632253404776870051199476222619269004890144761853439484671057123097693465191381050813704562732917125293370932479130541598163953960078201654747916507320573574680356823040x-1771260505008202862102854051702189834144507041921400912212854357946960933195335641858396501896935850288388698973423657024874890168951887006119520716403898588447265625000000000000z^{19}+6993494167255643877060419555161219397297718310661681373013610473433161675295215097739765468198629739368658992144459186504824936653303907728642932110182220458984375000000000000000z^{18}+46980330573720043696285723094038459435169014560960809457932826698816864853909365786661752359672134274602580990491031583381442373098978089863389116690573928381886816436810143422403125z^{17}-362457794998087226523064237197118238681455387434685379217170814307753153223785029557758914206492139656047158750881706208736371102082285270209948560334845112137055928302241429687500000z^{16}+1825588409831441292570286016853843732976447711290921201282663597873225040956392206905741146687704996955957543164892852708765201681735455663532400560561990184217739346093750000000000000z^{15}+15138417846066725118358222658899878896246722526651227781338839693046020627409354976198946514427454581361714047528896855158315263311055631123529796231583257599303710937500000000000000000z^{14}-44394335873903477558622382037619903399605543513019193984850811034401539767435244582975861827087564468519794770271434211676417079225209120663140736918184704321681411620260946061817664157500z^{13}-239889463831973885970439654459159240773157947028995584430781544269432684180568707791767576191787113033986469119189293532827387996841920408461551066623181822838810854143891280165251250000000z^{12}+2738339662798997128827712967353520807578712156161195412624338459316853569080754130154719452119622862823530609072130944805722667158059695598771740436061650119196713974446586975000000000000000z^{11}-15237133948658997778693395344596342126523231688102858941028295140149607477956051848066457333497202284356641427141996353739796250479018624174619989841534614074349477755996093750000000000000000z^{10}+48563913474106327770615609511108962756349408870293446119857242983280899281287041276597414703953142847110970543541965415369819771789164016371916892583484885932065222266474244223656870580763404750z^9+182770901475269211462030828375934181004032581754339209581456763239413822566355167569080400536438012882499416890307268474234594753941991910223913471336544588355841793697886482347774623132375000000z^8+309191296130950729973668595368021125635249693248658751381279239017170403224531631090451630403456902301090463541541208661015512101696917723097258264871336817986092045758275049045390250000000000000z^7-6838688396641645490945090868618366582490420637673970853279869471018348887091817749546675847593376908651767451450243404728169565283801174082247345442363224813502338696761842209062500000000000000000z^6-74815682380070752593065205631091355818115420146560706379886171073303776505335730603765529125626467971633284964641482528987570423158923499017031906462266550721041958679333491247172414080955401845651420z^5-154608045527569292338754337973797843824713701855230758768236174292780150592090630056630234512064066763987236066826571445077192641952424283276680662979283353386614928379571789390957015570270631450000000z^4-124695385819578642285275287975402015668994502200477065094640515598601115130175167063705343665239193213631330215705606292594773399242228508627801381881595789007869020418417852791444860110175000000000000z^3-66152659857188245320424888024222967738184293737891699176976594293187674688484864881423871033576765065422479234984449961643090211269389726039235842212801812250522818211946896210922615625000000000000000z^2+573598714920124956474610718803150703376812978417179178775576117319500000077857129232958889104193427114987500929833686714791341712743162700766075396541379832681132358445310329142895528887477470724804102079717z+239787108649287987286424755607482454864690786827841184696976286133386057573817722098997859322480446751288360706756986017238407677469601203785469989972240351121714956603188344506951151541954650850823956500000\,573706397328462800373443098356941129972731612670238843502559973811130963450244507238092671974233552856154884673259569052540685228136645856264668546623956527079908197698003910082737395825366028678734017841152y-1771260505008202862102854051702189834144507041921400912212854357946960933195335641858396501896935850288388698973423657024874890168951887006119520716403898588447265625000000000000z^{19}+6993494167255643877060419555161219397297718310661681373013610473433161675295215097739765468198629739368658992144459186504824936653303907728642932110182220458984375000000000000000z^{18}+46980330573720043696285723094038459435169014560960809457932826698816864853909365786661752359672134274602580990491031583381442373098978089863389116690573928381886816436810143422403125z^{17}-362457794998087226523064237197118238681455387434685379217170814307753153223785029557758914206492139656047158750881706208736371102082285270209948560334845112137055928302241429687500000z^{16}+1825588409831441292570286016853843732976447711290921201282663597873225040956392206905741146687704996955957543164892852708765201681735455663532400560561990184217739346093750000000000000z^{15}+15138417846066725118358222658899878896246722526651227781338839693046020627409354976198946514427454581361714047528896855158315263311055631123529796231583257599303710937500000000000000000z^{14}-44394335873903477558622382037619903399605543513019193984850811034401539767435244582975861827087564468519794770271434211676417079225209120663140736918184704321681411620260946061817664157500z^{13}-239889463831973885970439654459159240773157947028995584430781544269432684180568707791767576191787113033986469119189293532827387996841920408461551066623181822838810854143891280165251250000000z^{12}+2738339662798997128827712967353520807578712156161195412624338459316853569080754130154719452119622862823530609072130944805722667158059695598771740436061650119196713974446586975000000000000000z^{11}-15237133948658997778693395344596342126523231688102858941028295140149607477956051848066457333497202284356641427141996353739796250479018624174619989841534614074349477755996093750000000000000000z^{10}+48563913474106327770615609511108962756349408870293446119857242983280899281287041276597414703953142847110970543541965415369819771789164016371916892583484885932065222266474244223656870580763404750z^9+182770901475269211462030828375934181004032581754339209581456763239413822566355167569080400536438012882499416890307268474234594753941991910223913471336544588355841793697886482347774623132375000000z^8+309191296130950729973668595368021125635249693248658751381279239017170403224531631090451630403456902301090463541541208661015512101696917723097258264871336817986092045758275049045390250000000000000z^7-6838688396641645490945090868618366582490420637673970853279869471018348887091817749546675847593376908651767451450243404728169565283801174082247345442363224813502338696761842209062500000000000000000z^6-74815682380070752593065205631091355818115420146560706379886171073303776505335730603765529125626467971633284964641482528987570423158923499017031906462266550721041958679333491247172414080955401845651420z^5-154608045527569292338754337973797843824713701855230758768236174292780150592090630056630234512064066763987236066826571445077192641952424283276680662979283353386614928379571789390957015570270631450000000z^4-124695385819578642285275287975402015668994502200477065094640515598601115130175167063705343665239193213631330215705606292594773399242228508627801381881595789007869020418417852791444860110175000000000000z^3-66152659857188245320424888024222967738184293737891699176976594293187674688484864881423871033576765065422479234984449961643090211269389726039235842212801812250522818211946896210922615625000000000000000z^2-107682408337843898832379553790426595918634253059664726983856491630963372387378005133782870040125741167383743425882337749343515393483155498593150082576694398775839252693580939841866937888557953929915761435z+239787108649287987286424755607482454864690786827841184696976286133386057573817722098997859322480446751288360706756986017238407677469601203785469989972240351121714956603188344506951151541954650850823956500000\,3125z^{20}-9375z^{16}-40000000000z^{15}-2015999988750z^{12}-1560000000000z^{11}+192000000000000000z^{10}-12165125356800006750z^8-14745602232000000000z^7-6528000000000000000z^6-409600000000000000000000z^5-16986908639233347839997975z^4-14155767152640302400000000z^3-5898238732800000000000000z^2-1228800000000000000000000z-6195303619231982878732441600243\right]$

$\mathrm{ds}≔\mathrm{DahanSchostTransform}\left(\mathrm{dec}\left[1\right]\,R\right)$

$\mathrm{ds}≔\mathrm{regular\_chain}$

$\mathrm{Equations}\left(\mathrm{ds}\,R\right)$

$\left[\left(625z^{19}-1500z^{15}-6000000000z^{14}-241919998650z^{11}-171600000000z^{10}+19200000000000000z^9-973210028544000540z^7-1032192156240000000z^6-391680000000000000z^5-20480000000000000000000z^4-679476345569333913599919z^3-424673014579209072000000z^2-117964774656000000000000z-12288000000000000000000\right)x+100000000z^{15}+5040000000z^{12}+3900000000z^{11}-960000000000000z^{10}+60825613392000000z^8+73728005580000000z^7+32640000000000000z^6+3072000000000000000000z^5+127401871196163369600000z^4+106168275763200756000000z^3+44236793664000000000000z^2+9216000000000000000000z+61953031096239274393631104000\,\left(3125z^{19}-7500z^{15}-30000000000z^{14}-1209599993250z^{11}-858000000000z^{10}+96000000000000000z^9-4866050142720002700z^7-5160960781200000000z^6-1958400000000000000z^5-102400000000000000000000z^4-3397381727846669567999595z^3-2123365072896045360000000z^2-589823873280000000000000z-61440000000000000000000\right)y-1875z^{16}-302399995500z^{12}-312000000000z^{11}-1216513874880004050z^8-2211840892800000000z^7-1305600000000000000z^6-849339791770341311998380z^4-1415574503424181440000000z^3-884735493120000000000000z^2-245760000000000000000000z-509608055439369331200243\,3125z^{20}-9375z^{16}-40000000000z^{15}-2015999988750z^{12}-1560000000000z^{11}+192000000000000000z^{10}-12165125356800006750z^8-14745602232000000000z^7-6528000000000000000z^6-409600000000000000000000z^5-16986908639233347839997975z^4-14155767152640302400000000z^3-5898238732800000000000000z^2-1228800000000000000000000z-6195303619231982878732441600243\right]$

$\mathrm{EqualSaturatedIdeals}\left(\mathrm{dec}\left[1\right]\,\mathrm{ds}\,R\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{rc}≔\mathrm{Chain}\left(\left[z\,y\,x\right]\,\mathrm{Empty}\left(R\right)\,R\right)$

$\mathrm{rc}≔\mathrm{regular\_chain}$

$\mathrm{EqualSaturatedIdeals}\left(\mathrm{rc}\,\mathrm{ds}\,R\right)$

$\mathrm{false}$