$\mathrm{define}\left(f\,\mathrm{linear}\,f\left(1\right)\=\mathrm{tt}\right)\:$

$f\left(2x\+4\right)$

$2f\left(x\right)\+4\mathrm{tt}$

$\mathrm{define}\left(g\,g\left({\left(a\colon\colon \mathrm{algebraic}\right)}^{n\colon\colon \mathrm{nonunit}\left(\mathrm{integer}\right)}\right)\=n g\left(a\right)\,g\left(a::\mathrm{realcons}\right)\=a\right)\:$

$g\left(x^2\right)\;$

$2g\left(x\right)$

$g\left(\mathrm{\pi }\sqrt{2}\right)$

$\mathrm{\π}\sqrt{2}$

$\mathrm{define}\left(h\,\mathrm{orderless}\,\mathrm{flat}\right)\:$

$h\left(a\,b\right)-h\left(b\,a\right)$

$0$

$h\left(a\,\left(b\,c\right)\right)-h\left(h\left(a\,b\right)\,c\right)$

$0$

$\mathrm{define}\left(\mathrm{fac}\,\mathrm{fac}\left(0\right)\=1\,\mathrm{fac}\left(n::\mathrm{posint}\right)\=n\mathrm{fac}\left(n-1\right)\right)\:$

$\mathrm{fac}\left(5\right)$

$120$

$\mathrm{define}\left(\mathrm{fib}\,\mathrm{fib}\left(0\right)\=1\,\mathrm{fib}\left(1\right)\=1\,\mathrm{fib}\left(n::\mathrm{posint}\right)\=\mathrm{fib}\left(n-1\right)\+\mathrm{fib}\left(n-2\right)\right)\:$

$\mathrm{fib}\left(7\right)$

$21$

$\mathrm{fib}\left(15\right)$

$987$

$\mathrm{define}\left(\mathrm{GCD}\,\mathrm{GCD}\left(a::\mathrm{integer}\,0\right)\=a\,\mathrm{GCD}\left(a::\mathrm{integer}\,b::\mathrm{integer}\right)\=\mathrm{GCD}\left(b\,a\mathbf{mod}b\right)\right)\:$

$\mathrm{GCD}\left(6\,3\right)$

$3$

$\mathrm{GCD}\left(120\,12\cdot 120\right)$

$120$

$\mathrm{GCD}\left(13\,11\right)$

$1$

$\mathrm{define}\left(H\,\mathrm{multilinear}\right)\:$

$H\left(2x\,x\+3\right)$

$2H\left(x\,x\right)\+6H\left(x\,1\right)$

$\mathrm{definemore}\left(H\,\mathrm{orderless}\,H\left(a::\mathrm{realcons}\,b::\mathrm{algebraic}\right)\=aH\left(b\right)\right)\:$$$

$H\left(2x\,x\+3\right)$

$2H\left(x\,x\right)\+6H\left(x\right)$

$H\left(2x\,x\+y\right)$

$2H\left(x\,x\right)\+2H\left(x\,y\right)$

$\mathrm{define}\left(\mathrm{INT}\,\mathrm{linear}\,\mathrm{conditional}\left(\mathrm{INT}\left(a::\mathrm{algebraic}\,X::\mathrm{name}\right)\=aX\,\mathrm{\_type}\left(a\,\mathrm{freeof}\left(X\right)\right)\right)\,\mathrm{INT}\left(X::\mathrm{name}\,X::\mathrm{name}\right)\=\frac{1}{2}\cdot X^2\right)\:$

$\mathrm{INT}\left(2x\+4\,x\right)$

$x^2\+4x$

$\mathrm{INT}\left(z\+x\,z\right)$

$\frac{1}{2}{z}^2\+xz$

$\mathrm{definemore}\left(\mathrm{INT}\,\mathrm{conditional}\left(\mathrm{INT}\left(\frac{1}{a::\mathrm{algebraic}X::\mathrm{name}\+b::\mathrm{algebraic}}\,X::\mathrm{name}\right)\=\frac{\ln \left(aX\+b\right)}{a}\,\mathrm{\_type}\left(a\,\mathrm{freeof}\left(X\right)\&and\mathrm{\_type}\left(b\,\mathrm{freeof}\left(X\right)\right)\right)\right)\right)\:$$$

$\mathrm{INT}\left(\frac{1}{x}\,x\right)$

$\ln \left(x\right)$

$\mathrm{INT}\left(\frac{1}{2x\+3}\,x\right)$

$\frac{1}{2}\ln \left(2x\+3\right)$

$\mathrm{definemore}\left(\mathrm{INT}\,\mathrm{INT}\left({x::\mathrm{name}}^{n::\left(\mathrm{nonunit}\left(\mathrm{integer}\right)\right)}\,x::\mathrm{name}\right)\=\frac{1}{n\+1}\cdot x^{n\+1}\right)\:$$$

$\mathrm{INT}\left(2x^2\,x\right)$

$\frac{2}{3}{x}^3$

$\mathrm{INT}\left(\frac{1}{x}\,x\right)$

$\ln \left(x\right)$

$\mathrm{define}\left(P\,\mathrm{diff}\left(P\left(x\right)\,x\right)\=\frac{1}{P\left(x\right)}\right)\:$

$\mathrm{diff}\left(P\left(x\right)\,x\right)$

$\frac{1}{P\left(x\right)}$

$\mathrm{diff}\left(P\left({\ⅇ}^z\right)\,z\right)$

$\frac{{\ⅇ}^z}{P\left({\ⅇ}^z\right)}$

$\mathrm{diff}\left(1\/P\left(x^2\right)\,x\right)$

$-\frac{2x}{{P\left(x^2\right)}^3}$

$\mathrm{unassign}\left(f\right)\:$

$\mathrm{define}\left(f\,\mathrm{linear}\,\mathrm{diff}\left(f\left(x\right)\,x\right)\=a\right)$

$\mathrm{diff}\left(f\left(x\right)\,x\right)$

$a$

$f\left(0\right)$

$0$

$\∫f\left(x\right)\ⅆx$

$xf\left(x\right)-\frac{1}{2}{x}^{2}a$

$\∫{\ⅇ}^{f\left(x\right)}\ⅆx$

$\frac{{\ⅇ}^{f\left(x\right)}}{a}$

$\∫f\left(\sin \left(x\right)\right)\ⅆx$

$xf\left(\sin \left(x\right)\right)-a\left(\cos \left(x\right)\+x\sin \left(x\right)\right)$

$\underset{x\→0}{lim}f\left(x\right)\;$

$0$

$\mathrm{series}\left(f\left(x\right)\,x\=0\right)$

$ax\+\mathrm{O}\left(x^6\right)$

$\mathrm{define}\left(\mathrm{`\&m`}\,\mathrm{flat}\,\mathrm{orderless}\,\mathrm{`\&m`}\left(a\colon\colon \mathrm{realcons}\, b\colon\colon \mathrm{realcons}\right) \= a b\right)\:$$a \&m b$

$a\&mb$

$\left(3 \&m 2\right) \&m a$

$6\&ma$

$$\begin{gathered} \mathrm{definemore}\left(\mathrm{`\&m`}\, \mathrm{`\&m`}\left(A\colon\colon \mathrm{algebraic}\,A\colon\colon \mathrm{algebraic}\right)\=A\right)\: \\ x \&m x \&m 4 \end{gathered}$$

$4\&mx$

$a \&m b-b \&m a$

$0$